簡析幾個典型的古代數學問題

關鍵詞：雞兔同籠 百雞問題 孫子定理

數學在中國擁有悠久的歷史，在古人的智慧中，我們可以發現數學之美，探尋數學之趣， 數學的好玩之處，並不限於數學遊戲。數學中有些極具實用意義的內容，包含了深刻的奧妙，發人深思，使人驚訝。中國古代的數學廣泛應用於各個領域，對中國古代的農業、天文學等的發展作出了重大貢獻。其中的一些膾炙人口的趣味小問題也讓我們在探究中發現數學之美。

1.雞兔同籠問題

雞兔同籠問題是我國古代一道經典的數學趣題。它記載於大約1500年前的《孫子算經》中，書中是這樣描述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”這句話的意思是：若干只雞兔同在一個籠子裏，從上面數，有三十五個頭：從下面數，有九十四隻腳。求籠中各有幾隻雞和兔？用解法一（假設法）：已知雞兔共有35只，如果把兔子的兩隻前腳用繩子捆起來，即，將兔子看做兩隻腳的雞，雞兔總的腳數是35×2=70（只），比題中說的94只要少24只。可知這24只腳是兔子，因此有兔子24÷2=12（只）。所以有雞35-12=23（只）。 解：假設全是雞： 35×2=70（只）比總腳數少：94-70=24（只）它們腳數的差：4-2=2（只）因此有兔子：24÷2=12（只）雞：35-12=23（只）解法二（方程法）：解：設兔有x只，則雞有35-x只。4x+2（35-x）=942x=24x=1235-12=23（只）故：有雞23只，兔12只。除此之外還有 解法3：（兔的腳數×總只數－總腳數）÷（兔的腳數－雞的腳數）=雞的.只數總只數－雞的只數=兔的只數解法4（ 總腳數－雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數－雞的腳數） =兔的只數總只數－兔的只數=雞的只數解法5：總腳數÷2—總頭數=兔的只數總只數—兔的只數=雞的只數解法4： 雞的只數=（4×雞兔總只數-雞兔總腳數）÷2 兔的只數=雞兔總只數-雞的只數6解法7兔總只數=（雞兔總腳數-2×雞兔總只數）÷2 雞的只數=雞兔總只數-兔總只數一個簡單的雞兔同籠問題卻能有如此多的解法，是不是很奇妙呢? 通過對一個簡單的數學問題的剖析，你是否從中發現了探索的樂趣呢？在探索的過程中你是否體味到數學解題思想的變幻之美呢？

2.百雞問題

百雞問題記載於中國古代約5-6世紀成書的《張丘建算經》中，該問題導致的三元不定方程組開創了“一問多答的先例”這是過去中國古算書書中所沒有的，體現了中國數學的發展。書中寫道：今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、鶵各幾何？意思是：公雞每隻值5文錢，母雞每隻值三文錢，而3 只小雞值1 文錢。現在用100 文錢買100 只雞，問：這100 只雞中公雞、母雞和小雞各有多少隻？，原書的答案是：“答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞 母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母四、值錢十二；雞鶵八十 四，值錢二十八。 ”這個問題流傳很廣，解法很多，但從現代數學觀點來看，它實際是一個求不定方成整數解的問題。解：設公雞、母雞、小雞分別爲x、y、z只。則,由題意知: ①x＋y＋z ＝100②5x＋3y＋(1/3)z ＝100令②×3－①得: 7x＋4y＝100’所以y=(100-7x)/4=25-2x+x/4令x/4=t, （t爲整數）所以x=4t把x=4t代入7x+4y=100得到：y=25-7t易得z=75+3t所以：x=4ty=25-7tz=75+3t因爲x,y,z大於等於0所以4t≥025-7t≥075+3t≥0解之得：0≤t≤25/7又t爲整數所以t=0,1,2,3當t=0時x=0,y=25,z=75當t=1時x ＝4；y ＝18；z ＝78當t=2時x ＝8；y ＝11；z ＝81當t=3時x ＝12；y ＝4；z ＝84小小的一個百雞問題讓我們看到了古人數學智慧，一題多答的解題方法也讓我們感受到數學嚴謹之外多變的魅力。

3.孫子定理

孫子定理來源於物不知其數問題，出自於一千六百年前我國古代數學名著《孫子算經》。原題爲："今有物不知其數，三三數之二，五五數之三，七七數之二，問物幾何？"變成一個純粹的數學問題就是：有一個數，用3除餘2，用5除餘3，用7除餘2。求這個數。這個問題很簡單：用3除餘2，用7除也餘2，所以用3與7的最小公倍數21除也餘2，而用21除餘2的數我們首先就會想到23；23恰好被5除餘3，所以23就是本題的一個答案。另一個著名的例子：韓信點一隊士兵的人數，三人一組餘兩人，五人一組餘三人，七人一組餘四人。問：這隊士兵至少有多少人？這個題目是要求出一個正數，使之用3除餘2，用5除餘3，用7除餘4，而且希望所求出的數儘可能地小。用3除餘2這個條件開始。滿足這個條件的數是3n+2，其中n是非負整數。 要使3n+2還能滿足用5除餘3的條件，可以把n分別用1，2，3，?代入來試。當n=1時，3n+2=5，5除以5不用餘3，不合題意；當n=2時，3n+2=8，8除以5正好餘3，可見8這個數同時滿足用3除餘2和用5除餘3這兩個條件。最後一個條件是用7除餘4。8不滿足這個條件。我們要在8的基礎上得到一個數，使之同時滿足三個條件。爲此，我們想到，可以使新數等於8與3和5的一個倍數的和。因爲8加上3與5的任何整數倍所得之和除以3仍然餘2，除以5仍然餘3。於是我們讓新數爲8+ 15m，分別把m=1，2，?代進去試驗。當試到m=3時，得到8+15m=53，53除以7恰好餘4，因而53合乎題目要求。

其實，我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《算法統宗》（1593年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。 按這四句口訣暗示的方法計算韓信點的這隊士兵的人數可得：70×2+21×3+15×4=263，263=2×105+53，所以，這隊士兵至少有53人。上面的方法所依據的理論，在中國稱之爲孫子定理，它充滿詩意的解題方法讓我深深體味到數學之美。中國古代的數學趣味問題用它多角度的解題方式鍛鍊了我們的思維方式，也讓我們在思維的轉換中發現數學的樂趣，體味到數學之美。