勾股定理無字證明 證明書

勾股定理無字證明
勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數學家，也有業餘數學愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴的政要權貴，甚至有國家總統。也許是因爲勾股定理既重要又簡單，更容易吸引人，才使它成百次地反覆被人炒作，反覆被人論證。1940年出版過一本名爲《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止於此，有資料表明，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬的。
在這數百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡潔，有的因爲證明者身份的特殊而非常著名。
首先介紹勾股定理的兩個最爲精彩的證明，據說分別來源於中國和希臘
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劉徽在證明勾股定理時，也是用的以形證數的方法，只是具體的分合移補略有不同.劉徽的證明原也有一幅圖，可惜圖已失傳，只留下一段文字：“勾自乘爲朱方，股自乘爲青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪.開方除之，即弦也.”後人根據這段文字補了一張圖。大意是：三角形爲直角三角形，以勾a爲邊的正方形爲朱方，以股b爲邊的正方形爲青方。以盈補虛，將朱方、青放併成弦方。依其面積關係有a^+b^=c^.由於朱方、青方各有一部分在弦方內，那一部分就不動了。 以勾爲邊的的正方形爲朱方，以股爲邊的正方形爲青方。以贏補虛，只要把圖中朱方(a2)的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦爲邊長的正方形(c的平方 ).由此便可證得a的平方+b的平方=c的平方。 這個證明是由三國時代魏國的數學家劉徽所提出的。在魏景元四年(即公元 263 年)，劉徽爲古籍《九章算術》作註釋。在註釋中，他畫了一幅像圖五(b)中的圖形來證明勾股定理。由於他在圖中以「青出」、「朱出」表示黃、紫、綠三個部分，又以「青入」、「朱入」解釋如何將斜邊正方形的空白部分填滿，所以後世數學家都稱這圖爲「青朱入出圖」。亦有人用「出入相補」這一詞來表示這個證明的原理。
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這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學衆多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。
有人會嘗試以三角恆等式(例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數)來證明勾股定理，但是，因爲所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作爲勾股定理的證明(參見循環論證)。
利用相似三角形的證法
利用相似三角形證明
有許多勾股定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。
設ABC爲一直角三角形, 直角於角C(看附圖). 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之爲H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因爲在兩個三角形中都有一個直角(這又是由於“高”的定義)，而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：
因爲BC=a,AC=b,AB=c
所以a/c=HB/a and b/c=AH/b
可以寫成a*a=c*HB and b*b=C*AH
綜合這兩個方程式，我們得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c
換句話說:a*a+b*b=c*c
[*]----爲乘號