有趣的數學悖論小故事
1、唐·吉訶德悖論
小說《唐·吉訶德》裏描寫過一個國家，它有一條奇怪的法律，每個旅遊者都要回答一個問題：“你來這裏做什麼？”回答對了，一切都好辦；回答錯了，就要被絞死。
一天，有個旅遊者回答：“我來這裏是要被絞死。”
旅遊者被送到國王那裏。國王苦苦想了好久：他回答得是對還是錯？究竟要不要把他絞死。如果說他回答得對，那就不要絞死他，可這樣一來，他的回答又成了錯的了！如果說他回答錯了，那就要絞死他，但這恰恰又證明他回答對了。實在是左右爲難！
2、梵學者的預言
一天，梵學者與他的女兒蘇耶發生了爭論。
蘇椰：你是一個大騙子，爸爸。你根本不能預言未來。
學者：我肯定能。
蘇椰：不，你不能。我現在就可以證明它！
蘇椰在一張紙上寫了一些字，折起來，壓在水晶球下。她說：
“我寫了一件事，它在3點鐘前可能發生，也可能不發生。請你預言它究竟是不是會發生，在這張白卡片上寫下‘是’字或‘不’字。要是你寫錯了，你答應現在就買輛汽車給我，不要拖到以後好嗎？”
“好，一言爲定。”學者在卡片上寫了一個字。
3點鐘時，蘇椰把水晶球下面的紙拿出來，高聲讀道：“在下午3點以前，你將寫一個‘不’字在卡片上。”
學者在卡片上寫的是“是”字，他預言錯了：“在下午3點以前，寫一個‘不’字在卡片上”這一件事並未發生。但如果他在卡片上寫的是“不”呢？也還錯！因爲寫“不”就表示他預言卡片上的事不會發生，但它恰恰發生了——他在卡片上寫的就是一個‘不’字。
蘇椰笑了：“我想要一輛紅色的賽車，爸爸，要帶鬥形座的。”
3、意想不到的老虎
公主要和邁克結婚，國王提出一個條件：
“我親愛的，如果邁克打死這五個門後藏着的一隻老虎，你就可以和他結婚。邁克必須順次序開門，從1號門開始。他事先不知道哪個房間裏有老虎，只有開了那扇門才知道。這隻老虎的出現將是料想不到的。”
邁克看着這些門，對自己說道：
“如果我打開了四個空房間的門，我就會知道老虎在第五個房間。可是，國王說我不能事先知道它在哪裏，所以老虎不可能在第五個房間。”
“五被排除了，所以老虎必然在前四個房間內。同樣的推理，老虎也不會在最後一個房間——第四間內。”
按同樣的理由推下去，邁克證明老虎不能在第三、第二和第一個房間。邁克十分快樂，他滿懷信心地去看門。使他驚駭的是，老虎從第二個房間跳了出來。
邁克的推理並沒有錯，但他失敗了。老虎的出現完全出乎意料，表明國王遵守了他的諾言。也許，邁克進行推理的本身就與國王關於老虎“料想不到”的條件發生了矛盾。迄今爲止，邏輯學家對於邁克究竟錯在哪裏還末得到一致意見。
4、錢包遊戲
史密斯教授和兩個學生一道吃午飯。教授說：“我來告訴你們一個新遊戲。把你們的錢包放在桌子上，我來數裏面的錢。錢少的人可以贏掉另一個錢包中的所有錢。”
學生甲想：“如果我的錢多，就會輸掉我這些錢；如果他的多，我就會贏多於我的錢。所以贏的要比輸的多，這個遊戲對我有利。”
同樣的道理，學生乙也認爲這個遊戲對他有利。
請問，一個遊戲怎麼會對雙方都有利呢？
5、一塊錢哪兒去了？
一個唱片商店裏，賣30張老式硬唱片，一塊錢兩張；另外30張軟唱片是一塊錢三張。那天，這60張唱片賣光了。30張硬唱片收入15元，30張軟唱片收入10元，總共是25元。
第二天，老闆又拿出60張唱片。他想：“如果30張唱片是一塊錢賣兩張，30張是一塊錢賣三張，何不放在一起，兩塊錢賣5張呢？”這一天，60張唱片全按兩塊錢5張賣出去了。老闆點錢時才發現，只賣得24元，而不是25元。
這一塊錢到哪兒去了呢？
6、驚人的編碼
外星的一位科學家基塔先生，來到地球收集人類的資料，遇到了赫爾曼博士。
赫爾曼：“你何不帶一套大英百科全書回去？這套書最全面地彙總了我們的`所有知識。”
基塔：“可惜，我帶不走那麼重的東西。不過，我可以把整套百科全書編碼，然後只要在這根金屬棒上作個標記，就代表了百科全書中的全部信息。”真是再簡單不過了！
基塔先生是怎樣做到的呢？
基塔：“我先把每個字母、數字、符號，都用一個數來代表，零用來隔開它們。例如cat一詞就編爲3－0－1－0－22。我用高級袖珍計算機快速掃描，就能把百科全書的全部內容轉變爲一個龐大的數字。前面加一個小數點，就使它變成了一個十進制的分數，例如0、2015015011……
基塔先生在金屬棒上找到了一個點，這個點將棒分爲a和b兩段，而a／b剛好等於上面那個十進制分數值。
基塔：“回去後，測出a和b的值，就求出了它們的比值；根據編碼的規定，你們的百科全書就被破譯出來了。”
這樣，基塔離開地球時只帶了一根金屬棒，而他卻已“滿載而歸”了！
7、不可逃遁的點
帕特先生沿着一條小路上山。他早晨七點動身，當晚七點到達山頂。第二天早晨沿同一小路下，晚上七點又回到山腳，遇見了拓撲學老師克萊因。
克萊因：“帕特，你可曾知道你今天下山時走過這樣一個地點，你通過這點的時刻恰好與你昨天上山時通過這點的時刻完全相同？”
帕特：“這絕不可能！我走路時快時慢，有時還停下來休息。”
克萊因：“當你開始下山時，設想你有一個替身同時開始登山，這個替身登山的過程同你昨天登山時完全相同。你和這個替身必定要相遇。我不能斷定你們在哪一點相遇，但一定會有這樣一點。”
帕特明白了。你明白了嗎？
8、橡皮繩上的蠕蟲
橡皮繩長1公里，一條蠕蟲在它的一端。蠕蟲以每秒1釐米的穩定速度沿橡皮繩爬行；而橡皮繩每過1秒鐘就拉長1公里。如此下去，蠕蟲最後究竟會不會到達終點呢？
乍一想，隨着橡皮繩的拉伸，蠕蟲離終點越來越遠了。但細心的讀者會想到：隨着橡皮繩的每次拉伸，蠕蟲也向前挪了。
如果用數學公式表示，蠕蟲在第n秒未在橡皮繩上的位置，表示爲整條繩的分數就是（推導過程從略）：
當n足夠大（約爲e100000）時，上式的值就超過了1，也就是說蠕蟲爬到了終點。
9、棘手的電燈
一盞電燈，用按鈕來開關。假定把燈擰開一分鐘，然後關掉半分鐘，再擰開1/4分鐘，再關掉1／8分鐘，如此往復，這一過程的末了恰好是兩分鐘。
那麼，在這一過程結束時，電燈是開着，還是關着？這個問題實在是難！
10、羅素悖論
一天，一個理髮師掛出了一塊招牌：“村裏所有不自己理髮的人都由我給他們理髮，我也只給這些人理髮。”於是有人問他：“您的頭髮由誰理呢？”理髮師頓時啞口無言。因爲如果他給自己理髮，那麼他就屬於自己給自己理髮的那一類。但是，招牌上說明他不給這類理髮，因此他不能自己理髮。如果由另外一個人給他理髮，他就是不給自己理髮的人，而招牌上說明他要給所有不自己理髮的人理髮，因此他應該自己理。由此可見，不管做怎樣的推論，理髮師所說的話總是自相矛盾的。這是一個著名的悖論，稱爲“羅素悖論”。這是由英國哲學家羅素提出來的，他把關於集合論的一個著名悖論用故事通俗地表述出來。1874年，德國數學家康托爾創立了集合論，很快滲透到大部分數學分支，成爲他們的基礎。到19世紀末，全部數學幾乎都建立在集合論是基礎上了。就在這時，集合論中接連出現了一些自相矛盾的結果，特別是1902年“羅素悖論”的提出，它極爲簡單、明確、通俗。於是，數學的基礎被動搖了，這就是所謂的第三次“數學危機”。此後，爲了克服這些悖論，數學家們做了大量研究工作，由此產生了大量新成果，也帶來了數學觀念的變革。
11、上帝不是萬能的
用反證法證明證明：假設上帝是萬能的，那麼上帝能造出一塊他自己都舉不起來的石頭，否則上帝就不是萬能的；但是上帝又舉不起這塊石頭，因此上帝不是萬能的，這與假設矛盾；所以原假設不成立，即上帝不是萬能的。
