切比雪夫不等式證明 證明書

切比雪夫不等式證明
一、
試利用切比雪夫不等式證明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續拋1000次，其出現正面的次數在400到600之間。
分析:將一枚均勻硬幣連續拋1000次可看成是1000重貝努利試驗,因此
1000次試驗中出現正面H的次數服從二項分佈.
解:設X表示1000次試驗中出現正面H的次數,則X是一個隨機變量,且
~XB(1000,1/2).因此
500
2
1
1000=×==npEX,
250)
2
答題完畢，祝你開心!
1
1(
2
1
1000)1(= ××= =pnpDX,
而所求的概率爲
}500600500400{}600400{ << =< }100100{< < =EXXP
}100{< =EXXP
975.0
100
1
2
= ≥
DX
.
二、
切比雪夫(Chebyshev)不等式
對於任一隨機變量X ,若EX與DX均存在,則對任意ε>0,
恆有P{|X-EX|>=ε}<=DX/ε^2 或P{|X-EX|<ε}>=1-DX/ε^2
切比雪夫不等式說明，DX越小，則 P{|X-EX|>=ε}
越小，P{|X-EX|<ε}越大， 也就是說，隨機變量X取值基本上集中在EX附近，這進一步說明了方差的意義。
同時當EX和DX已知時，切比雪夫不等式給出了概率P{|X-EX|>=ε}的一個上界，該上界並不涉及隨機變量X的具體概率分佈，而只與其方差DX和ε有關，因此，切比雪夫不等式在理論和實際中都有相當廣泛的應用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應用廣泛，但在一個具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。
切比雪夫不等式是指在任何數據集中，與平均數超過K倍標準差的數據佔的比例至多是1/K^2。
在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機變數的「幾乎所有」值都會「接近」平均。這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：
與平均相差2個標準差的值，數目不多於1/4
與平均相差3個標準差的值，數目不多於1/9
與平均相差4個標準差的值，數目不多於1/16
……
與平均相差k個標準差的值，數目不多於1/K^2
舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少於50分(與平均相差3個標準差以上)的人，數目不多於4個(=36*1/9)。
設(X,Σ,μ)爲一測度空間，f爲定義在X上的廣義實值可測函數。對於任意實數t > 0，
一般而言，若g是非負廣義實值可測函數，在f的定義域非降，則有
上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：
概率論說法
設X爲隨機變數，期望值爲μ，方差爲σ2。對於任何實數k>0，
改進
一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子：
這個分佈的標準差σ = 1 / k，μ = 0。
當只求其中一邊的值的時候，有Cantelli不等式：
[1]
證明
定義，設爲集的指標函數，有
又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變數Y和正數a有Pr(|Y| le opeatorname{E}(|Y|)/a。取Y = (X ? μ)2及a = (kσ)2。
亦可從概率論的原理和定義開始證明。