九年級下數學課件
正弦和餘弦(一)
一、素質教育目標
(一)知識教學點
使學生知道當直角三角形的鋭角固定時,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這一事實.
(二)能力訓練點
逐步培養學生會觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.
(三)德育滲透點
引導學生探索、發現,以培養學生獨立思考、勇於創新的精神和良好的學習習慣.
二、教學重點、難點
1.重點:使學生知道當鋭角固定時,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事實.
2.難點:學生很難想到對任意鋭角,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實,關鍵在於教師引導學生比較、分析,得出結論.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.如圖6-1,長5米的梯子架在高為3米的牆上,則A、B間距離為多少米?
2.長5米的梯子以傾斜角∠CAB為30°靠在牆上,則A、B間的距離為多少?
3.若長5米的梯子以傾斜角40°架在牆上,則A、B間距離為多少?
4.若長5米的梯子靠在牆上,使A、B間距為2米,則傾斜角∠CAB為多少度?
前兩個問題學生很容易回答.這兩個問題的設計主要是引起學生的回憶,並使學生意識到,本章要用到這些知識.但後兩個問題的設計卻使學生感到疑惑,這對初三年級這些好奇、好勝的學生來説,起到激起學生的學習興趣的作用.同時使學生對本章所要學習的內容的特點有一個初步的瞭解,有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三角形的知識是不能解決的,解決這類問題,關鍵在於找到一種新方法,求出一條邊或一個未知鋭角,只要做到這一點,有關直角三角形的其他未知邊角就可用學過的知識全部求出來.
通過四個例子引出課題.
(二)整體感知
1.請每一位同學拿出自己的三角板,分別測量並計算30°、45°、60°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值.
學生很快便會回答結果:無論三角尺大小如何,其比值是一個固定的值.程度較好的學生還會想到,以後在這些特殊直角三角形中,只要知道其中一邊長,就可求出其他未知邊的長.
2.請同學畫一個含40°角的直角三角形,並測量、計算40°角的對邊、鄰邊與斜邊的比值,學生又高興地發現,不論三角形大小如何,所求的比值是固定的.大部分學生可能會想到,當鋭角取其他固定值時,其對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎?
這樣做,在培養學生動手能力的同時,也使學生對本節課要研究的知識有了整體感知,喚起學生的求知慾,大膽地探索新知.
(三)重點、難點的學習與目標完成過程
1.通過動手實驗,學生會猜想到“無論直角三角形的鋭角為何值,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值總是固定不變的”.但是怎樣證明這個命題呢?學生這時的思維很活躍.對於這個問題,部分學生可能能解決它.因此教師此時應讓學生展開討論,獨立完成.
2.學生經過研究,也許能解決這個問題.若不能解決,教師可適當引導:
若一組直角三角形有一個鋭角相等,可以把其
頂點A1,A2,A3重合在一起,記作A,並使直角邊AC1,AC2,AC3……落在同一條直線上,則斜邊AB1,AB2,AB3……落在另一條直線上.這樣同學們能解決這個問題嗎?引導學生獨立證明:易知,B1C1∥B2C2∥B3C3……,∴△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽……,∴
形中,∠A的對邊、鄰邊與斜邊的比值,是一個固定值.
通過引導,使學生自己獨立掌握了重點,達到知識教學目標,同時培養學生能力,進行了德育滲透.
而前面導課中動手實驗的設計,實際上為突破難點而設計.這一設計同時起到培養學生思維能力的作用.
練習題為 作了孕伏同時使學生知道任意鋭角的對邊與斜邊的比值都能求出來.
(四)總結與擴展
1.引導學生作知識總結:本節課在複習勾股定理及含30°角直角三角形的性質基礎上,通過動手實驗、證明,我們發現,只要直角三角形的鋭角固定,它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.
教師可適當補充:本節課經過同學們自己動手實驗,大膽猜測和積極思考,我們發現了一個新的結論,相信大家的邏輯思維能力又有所提高,希望大家發揚這種創新精神,變被動學知識為主動發現問題,培養自己的創新意識.
2.擴展:當鋭角為30°時,它的對邊與斜邊比值我們知道.今天我們又發現,鋭角任意時,它的對邊與斜邊的比值也是固定的.如果知道這個比值,已知一邊求其他未知邊的問題就迎刃而解了.看來這個比值很重要,下節課我們就着重研究這個“比值”,有興趣的同學可以提前預習一下.通過這種擴展,不僅對正、餘弦概念有了初步印象,同時又激發了學生的興趣.
四、佈置作業
本節課內容較少,而且是為正、餘弦概念打基礎的,因此課後應要求學生預習正餘弦概念.
五、板書設計
第十四章 解直角三角形
一、鋭角三角函數 證明:------------------
結論:--------------------
練習:---------------------
正弦和餘弦(二)
一、素質教育目標
(一)知識教學點
使學生初步瞭解正弦、餘弦概念;能夠較正確地用sinA、cosA表示直角三角形中兩邊的比;熟記特殊角30°、45°、60°角的正、餘弦值,並能根據這些值説出對應的鋭角度數.
(二)能力訓練點
逐步培養學生觀察、比較、分析、概括的思維能力.
(三)德育滲透點
滲透教學內容中普遍存在的運動變化、相互聯繫、相互轉化等觀點.
二、教學重點、難點
1.教學重點:使學生了解正弦、餘弦概念.
2.教學難點:用含有幾個字母的符號組sinA、cosA表示正弦、餘弦;正弦、餘弦概念.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.引導學生回憶“直角三角形鋭角固定時,它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比值也是固定的.”
2.明確目標:這節課我們將研究直角三角形一鋭角的對邊、鄰邊與斜邊的比值——正弦和餘弦.
(二)整體感知
只要知道三角形任一邊長,其他兩邊就可知.
而上節課我們發現:只要直角三角形的鋭角固定,它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值也固定.這樣只要能求出這個比值,那麼求直角三角形未知邊的問題也就迎刃而解了.
通過與“30°角所對的直角邊等於斜邊的一半”相類比,學生自然產生想學習的慾望,產生濃厚的學習興趣,同時對以下要研究的內容有了大體印象.
(三)重點、難點的學習與目標完成過程
正弦、餘弦的概念是全章知識的基礎,對學生今後的學習與工作都十分重要,因此確定它為本課重點,同時正、餘弦概念隱含角度與數之間具有一一對應的函數思想,又用含幾個字母的符號組來表示,因此概念也是難點.
在上節課研究的基礎上,引入正、餘弦,“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、餘弦”.如圖6-3:
請學生結合圖形敍述正弦、餘弦定義,以培養學生概括能力及語言表達能力.教師板書:在△ABC中,∠C為直角,我們把鋭角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,鋭角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的餘弦,記作cosA.
若把∠A的對邊BC記作a,鄰邊AC記作b,斜邊AB記作c,則
引導學生思考:當∠A為鋭角時,sinA、cosA的值會在什麼範圍內?得結論0
教材例1的設置是為了鞏固正弦概念,通過教師示範,使學生會求正弦,這裏不妨增問“cosA、cosB”,經過反覆強化,使全體學生都達到目標,更加突出重點.
例1 求出圖6-4所示的Rt△ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.
學生練習1中1、2、3.
讓每個學生畫含30°、45°的直角三角形,分別求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°.這一練習既用到以前的知識,又鞏固正弦、餘弦的概念,經過學習親自動筆計算後,對特殊角三角函數值印象很深刻.
例2 求下列各式的值:
為了使學生熟練掌握特殊角三角函數值,這裏還應安排六個小題:
(1)sin45°+cos45; (2)sin30°cos60°;
在確定每個學生都牢記特殊角的三角函數值後,引導學生思考,“請大家觀察特殊角的正弦和餘弦值,猜測一下,sin20°大概在什麼範圍內,cos50°呢?”這樣的引導不僅培養學生的觀察力、注意力,而且培養學生勇於思考、大膽創新的精神.還可以進一步請成績較好的同學用語言來敍述“鋭角的正弦值隨角度增大而增大,餘弦值隨角度增大而減小.”為查正餘弦表作準備.
(四)總結、擴展
首先請學生作小結,教師適當補充,“主要研究了鋭角的正弦、餘弦概念,已知直角三角形的兩邊可求其鋭角的正、餘弦值.知道任意鋭角A的正、餘弦值都在0~1之間,即0
還發現Rt△ABC的兩鋭角∠A、∠B,sinA=cosB,cosA=sinB.正弦值隨角度增大而增大,餘弦值隨角度增大而減小.”
四、佈置作業
教材習題14.1中A組3.
預習下一課內容.
五、板書設計
14.1 正弦和餘弦(二)
一、概念: 三、例1---------- 四、特殊角的正餘弦值
------------- ------------------- -----------------------
二、範圍: ------------------ 五、例2 ------------
正弦和餘弦(三)
一、素質教育目標
(一)知識教學點
使學生了解一個鋭角的正弦(餘弦)值與它的餘角的餘弦(正弦)值之間的關係.
(二)能力訓練點
逐步培養學生觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括的邏輯思維能力.
(三)德育滲透點
培養學生獨立思考、勇於創新的精神.
二、教學重點、難點
1.重點:使學生了解一個鋭角的正弦(餘弦)值與它的餘角的餘弦(正弦)值之間的關係並會應用.
2.難點:一個鋭角的正弦(餘弦)與它的餘角的餘弦(正弦)之間的關係的應用.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.複習提問
(1)、什麼是∠A的正弦、什麼是∠A的餘弦,結合圖形請學生回答.因為正弦、餘弦的概念是研究本課內容的知識基礎,請中下學生回答,從中可以瞭解教學班還有多少人不清楚的,可以採取適當的補救措施.
(2)請同學們回憶30°、45°、60°角的正、餘弦值(教師板書).
(3)請同學們觀察,從中發現什麼特徵?學生一定會回答“sin30°=cos60°,sin45°=cos45°,sin60°=cos30°,這三個角的正弦值等於它們餘角的餘弦值”.
2.導入新課
根據這一特徵,學生們可能會猜想“一個鋭角的正弦(餘弦)值等於它的餘角的餘弦(正弦)值.”這是否是真命題呢?引出課題.
(二)、整體感知
關於鋭角的正弦(餘弦)值與它的餘角的餘弦(正弦)值之間的關係,是通過30°、45°、60°角的正弦、餘弦值之間的關係引入的,然後加以證明.引入這兩個關係式是為了便於查“正弦和餘弦表”,關係式雖然用黑體字並加以文字語言的證明,但不標明是定理,其證明也不要求學生理解,更不應要求學生利用這兩個關係式去推證其他三角恆等式.在本章,這兩個關係式的用處僅僅限於查表和計算,而不是證明.
(三)重點、難點的學習和目標完成過程
1.通過複習特殊角的三角函數值,引導學生觀察,並猜想“任一鋭角的正弦(餘弦)值等於它的餘角的餘弦(正弦)值嗎?”提出問題,激發學生的學習熱情,使學生的思維積極活躍.
2.這時少數反應快的學生可能頭腦中已經“畫”出了圖形,並有了思路,但對部分學生來説仍思路凌亂.因此教師應進一步引導:sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)(A是鋭角)成立嗎?這時,學生結合正、餘弦的概念,完全可以自己解決,教師要給學生足夠的研究解決問題的時間,以培養學生邏輯思維能力及獨立思考、勇於創新的精神.
3.教師板書:
任意鋭角的正弦值等於它的餘角的餘弦值;任意鋭角的餘弦值等於它的餘角的正弦值.
sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).
4.在學習了正、餘弦概念的基礎上,學生了解以上內容並不困難,但是,由於學生初次接觸三角函數,還不熟練,而定理又涉及餘角、餘函數,使學生極易混淆.因此,定理的應用對學生來説是難點、在給出定理後,需加以鞏固.
已知∠A和∠B都是鋭角,
(1)把cos(90°-A)寫成∠A的正弦.
(2)把sin(90°-A)寫成∠A的餘弦.
這一練習只能起到鞏固定理的作用.為了運用定理,教材安排了例3.
(2)已知sin35°=0.5736,求cos55°;
(3)已知cos47°6′=0.6807,求sin42°54′.
(1)問比較簡單,對照定理,學生立即可以回答.(2)、(3)比(1)則更深一步,因為(1)明確指出∠B與∠A互餘,(2)、(3)讓學生自己發現35°與55°的角,47°6′分42°54′的角互餘,從而根據定理得出答案,因此(2)、(3)問在課堂上應該請基礎好一些的同學講清思維過程,便於全體學生掌握,在三個問題處理完之後,最好將題目變形:
(2)已知sin35°=0.5736,則cos______=0.5736.
(3)cos47°6′=0.6807,則sin______=0.6807,以培養學生思維能力.
為了配合例3的教學,教材中配備了練習題2.
(2)已知sin67°18′=0.9225,求cos22°42′;
(3)已知cos4°24′=0.9971,求sin85°36′.
學生獨立完成練習2,就説明定理的教學較成功,學生基本會運用.
教材中3的設置,實際上是對前二節課內容的綜合運用,既考察學生正、餘弦概念的掌握程度,同時又對本課知識加以鞏固練習,因此例3的安排恰到好處.同時,做例3也為下一節查正餘弦表做了準備.
(四)小結與擴展
1.請學生做知識小結,使學生對所學內容進行歸納總結,將所學內容變成自己知識的組成部分.
2.本節課我們由特殊角的正弦(餘弦)和它的餘角的餘弦(正弦)值間關係,以及正弦、餘弦的概念得出的結論:任意一個鋭角的正弦值等於它的餘角的餘弦值,任意一個鋭角的餘弦值等於它的餘角的正弦值.
四、佈置作業
教材習題14.1A組4、5.
五、板書設計
14.1 正弦和餘弦(三)
一、餘角餘函數關係 二、例3
----------------------------- --------------------------
---------------------------------- -------------------------------
正弦和餘弦(四)
一、素質教育目標
(一)知識教學點
使學生會查“正弦和餘弦表”,即由已知鋭角求正弦、餘弦值.(二)能力滲透點
逐步培養學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.
(三)德育訓練點
培養學生良好的學習習慣.
二、教學重點、難點
1.重點:“正弦和餘弦表”的查法.
2.難點:當角度在0°~90°間變化時,正弦值與餘弦值隨角度變化而變化的規律.
三、教學步驟
(一)明確目標
1.複習提問
1)30°、45°、60°的正弦值和餘弦值各是多少?請學生口答.
2)任意鋭角的正弦(餘弦)與它的餘角的餘弦(正弦)值之間的關係怎樣?通過複習,使學生便於理解正弦和餘弦表的設計方式.
(二)整體感知
我們已經求出了30°、45°、60°這三個特殊角的正弦值和餘弦值,但在生產和科研中還常用到其他鋭角的正弦值和餘弦值,為了使用上的方便,我們把0°—90°間每隔1′的各個角所對應的正弦值和餘弦值(一般是含有四位有效數字的近似值),列成表格——正弦和餘弦表.本節課我們來研究如何使用正弦和餘弦表.
(三)重點、難點的學習與目標完成過程
1.“正弦和餘弦表”簡介
學生已經會查平方表、立方表、平方根表、立方根表,對數學用表的結構與查法有所瞭解.但正弦和餘弦表與其又有所區別,因此首先向學生介紹“正弦和餘弦表”.
(1)“正弦和餘弦表”的作用是:求鋭角的正弦、餘弦值,已知鋭角的正弦、餘弦值,求這個鋭角.
2)表中角精確到1′,正弦、餘弦值有四位有效數字.
3)凡表中所查得的值,都用等號,而非“≈”,根據查表所求得的值進行近似計算,結果四捨五入後,一般用約等號“≈”表示.
2.舉例説明
例4 查表求37°24′的正弦值.
學生因為有查表經驗,因此查sin37°24′的值不會是到困難,完全可以自己解決.
例5 查表求37°26′的正弦值.
學生在獨自查表時,在正弦表頂端的橫行裏找不到26′,但26′在24′~30′間而靠近24′,比24′多2′,可引導學生注意修正值欄,這樣學生可能直接得答案.教師這時可設問“為什麼將查得的5加在0.6074的最後一個數位上,而不是0.6074減去0.0005”.通過引導學生觀察思考,得結論:當角度在0°~90°間變化時,正弦值隨着角度的增大(或減小)而增大(或減小).
解:sin37°24′=0.6074.
角度增2′ 值增0.0005
sin37°26′=0.6079.
例6 查表求sin37°23′的值.
如果例5學生已經理解,那麼例6學生完全可以自己解決,通過對比,加強學生的理解.
解:sin37°24′=0.6074
角度減1′值減0.0002
sin37°23′=0.6072.
在查表中,還應引導學生查得:
sin0°=0,sin90°=1.
根據正弦值隨角度變化規律:當角度從0°增加到90°時,正弦值從0增加到1;當角度從90°減少到0°時,正弦值從1減到0.
可引導學生查得:
cos0°=1,cos90°=0.
根據餘弦值隨角度變化規律知:當角度從0°增加到90°時,餘弦值從1減小到0,當角度從90°減小到0°時,餘弦值從0增加到1.
(四)總結與擴展
1.請學生總結
本節課主要討論了“正弦和餘弦表”的查法.瞭解正弦值,餘弦值隨角度的變化而變化的規律:當角度在0°~90°間變化時,正弦值隨着角度的增大而增大,隨着角度的減小而減小;當角度在0°~90°間變化時,餘弦值隨着角度的增大而減小,隨着角度的減小而增大.
2.“正弦和餘弦表”的用處除了已知鋭角查其正、餘弦值外,還可以已知正、餘弦值,求鋭角,同學們可以試試看.
四、佈置作業
預習教材中例8、例9、例10,養成良好的學習習慣.
五、板書設計
[九年級下數學課件]