完美數範例

稀少而有趣的完美數

已知自然數a和b，如果b能夠整除a，就說b是a的一個因數，也稱爲約數。顯然，任何自然數a，總有因數1和a 。我們把小於a的因數叫做a的真因數。 例如6，12，14這三個數的所有真因數：

6：1，2，3;1+2+3=6

12：1，2，3，4，6;1+2+3+4+6=16>12

14：1，2，7;1+2+7=10<14

像12這樣小於它的真因數之和的叫做虧數(不足數);大於真因數之和的(如14)叫做盈數或過剩數;恰好相等的(如6)叫做完全數,也稱爲完美數。

古希臘人非常重視完全數。大約在公元100年,尼可馬修斯寫了第一本專門研究數論的書《算術入門》，其中寫道：“也許是這樣：正如美的、卓絕的東西是罕有的，是容易計數的，而醜的、壞的東西卻滋蔓不已;所以盈數和虧數非常之多，而且紊亂無章，它們的發現也毫無系統。但是完全數則易於計數，而且又順理成章……，它們具有一致的特性：尾數都是6或8，而且永遠是偶數。”

現在數學家已發現，完全數非常稀少，至今人們只發現29個，而且都是偶完全數 。前5個分別是：6，28，496，8128，33550336。

經過不少科學家的研究，現在已經發現，圖中的兩句話成立，其中的n也同樣是素數。爲此，數學家就用英文prime(素數)的第一個字母p代替n，將2的'p次方數減去1的素數叫“默森尼數”。 但是，對於下面兩個問題：“偶完全數的個數是不是有限的? ”“有沒有奇完全數?” 數學家到現在爲止還沒有解決。

完全數有許多有趣的性質，例如：

1.它們都能寫成連續自然數之和：

6=1+2+3,28=1+2+3+4+5+6+7,

496=1+2+3+4+……+31，

8128=1+2+3+4+……+127;

2.它們的全部因數的倒數之和都是2。